Question

【题目】如图所示，四棱锥中，平面，，，.

（1）在棱上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；

（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在；证明见解析（2）

【解析】

（1）当点为棱的中点时，平面；取的中点，连结、、，由已知结合中位线的性质可得且，进而可得，由线面平行的判定即可得证；

（2）由题意建立空间直角坐标系，求出各点坐标，再求出平面的一个法向量为与平面的一个法向量为，利用即可得解.

（1）当点为棱的中点时，平面.

证明如下：

取的中点，连结、、，则且，

，，

且，

四边形为平行四边形，

，

平面，平面，

平面.

（2）在平面内过点作直线的垂线，

平面，，，

直线、和两两垂直，

以点为原点，分别以直线、和为轴、轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，过点作交直线于，

，，，

，，

从而可得，，，，，

则，，，.

设平面的一个法向量为，

则即，取，可得，

设平面的一个法向量为，

则即，取，可得

，

平面和平面所成锐二面角的余弦值为.