【题目】在四棱锥中,平面
平面
,底面
为梯形,
,
,且
,
,
.
(I)求证:;
(II)求二面角_____的余弦值;
从①,②
,③
这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
(III)若是棱
的中点,求证:对于棱
上任意一点
,
与
都不平行.
【答案】(I)见解析(II)见解析(III)见解析
【解析】
(I)根据面面垂直的性质及线面垂直的判定定理,可证明平面
,进而证明
;
(II)在平面内过点D作
,交
于H,以D为原点,
所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系
,写出各个点的坐标,并求得各平面法向量,由法向量法即可求得各二面角的大小;
(III)假设棱BC上存在点F,.设
表示出
,
,设
,可得关于
的方程组,方程组无解即可确定
与
不平行.
(I)证明:因为平面平面
,平面
平面
,
平面
,
,
所以平面
,
又因为平面
,
所以.
(Ⅱ)选择①:在平面内过点D作
,交
于H.
由(I)可知,平面
,所以
.
故两两垂直,
如图,以D为原点,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系
,
则.
因为平面
,所以平面
的一个法向量为
.
而,
,
设平面的一个法向量为
则由,得
,
取,有
.
所以.
由题知二面角为锐角,
故二面角的余弦值为
.
选择②:(下面给出关键点供参考,若与上面建系相同,)
平面ABCD的一个法向量为;
平面PBD的一个法向量为;
二面角为钝角:二面角
的余弦值为
.
选择③:(下面给出关键点供参考,若与上面建系相同,)
平面ABCD的法向量;
平面PBC的法向量;
二面角为锐角;二面角
的余弦值为
.
(Ⅲ)假设棱BC上存在点F,.设
.
依题意,可知,
,
,
,
,
,设
,
则,而此方程组无解,
故假设不成立,所以结论成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况,从该校上一届高三(1)班到高三(5)班随机抽取50人,得到各班抽取的人数和其中本科上线人数,并将抽取数据制成下面的条形统计图.
(1)根据条形统计图,估计本届高三学生本科上线率.
(2)已知该省甲市2020届高考考生人数为4万,假设以(1)中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.
(i)若从甲市随机抽取10名高三学生,求恰有8名学生达到本科线的概率(结果精确到0.01);
(ii)已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万,假设该市每个考生本科上线率均为,若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市,求p的取值范围.
可能用到的参考数据:取,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于正整数,如果
个整数
满足
,
且,则称数组
为
的一个“正整数分拆”.记
均为偶数的“正整数分拆”的个数为
均为奇数的“正整数分拆”的个数为
.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数,设
是
的一个“正整数分拆”,且
,求
的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数,证明:
;并求出使得等号成立的
的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”
与
,当且仅当
且
时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】关于曲线,给出下列四个结论:
①曲线C关于原点对称,但不关于x轴、y轴对称;
②曲线C恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
③曲线C上任意一点都不在圆的内部;
④曲线C上任意一点到原点的距离都不大于.
其中,正确结论的序号是________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知集合,对于
,
,定义A与B的差为
;A与B之间的距离为
.
(I)若,试写出所有可能的A,B;
(II),证明:
(i);
(ii)三个数中至少有一个是偶数;
(III)设,
中有m(
,且为奇数)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为
,证明:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,已知椭圆:(
)的离心率为
,右准线方程是直线l:
,点P为直线l上的一个动点,过点P作椭圆的两条切线
,切点分别为AB(点A在x轴上方,点B在x轴下方).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)①求证:分别以为直径的两圆都恒过定点C;
②若,求直线
的方程.
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