Question

【题目】已知.

（1）当时，若恰有一个零点，求实数的取值范围；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由解析式确定定义域，当时，表示此时的表达式并求导，利用分类讨论参数a，进而分析零点情况；当时，显然无零点，不符合题意；当时，由零点的存在性定理可证得只有一个零点，符合题意；当时，在单减，在单增，进而只有一个零点即，解得，综上可得答案；

（2）令，恒成立等价于恒成立，进而利用分类讨论思想借助导数表示，求得答案.

定义域：.

（1）当时，，.

①当时，，在单增，，∴在无零点；

②当时，，在单增，又，由，，，∴在恰有一个零点；

③当时，，在单减，在单增，

要使在恰有一个零点，则，解得

综上所述，若恰有一个零点，则或，即实数的范围是.

（2）令，

，又，要使在恒成立.

①当时，在单减，在单增，虽然，

但当时，所以在恒成立不成立，不合题意.

②当时，在恒成立，在单增，虽然，

但当时，所以在恒成立不成立，不合题意.

③当时，在恒成立，在单减，所以要使在恒成立的充要条件是，即，解得，故.

综上所述，实数的范围是，即实数的范围.