Question

【题目】平面上有7个点，每三点的两两连线都组成一个不等边三角形．求证：一定可以找到4对三角形，使每对三角形的公共边既是其中一个三角形的最长边又是另一个三角形的最短边．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

记平面上的7个点为，，…，．因为每三点两两连线都组成不等边三角形，故每个三角形都有最长边，也都有最短边．现将每个三角形的最长边都染上红色，剩下的边染上蓝色，则每一个三角形都有红色边．

下面证明：个三角形中必有4个同色三角形．

（1）6阶完全图的边作二染色，至少有2个同色三角形．

设的引线中有条红线，条蓝线，以为顶点的非同色三角形有个．

由，知．

则非同色三角形总计为．

故同色三角形的个数应满足．

（2）7阶完全图的边作二染色，至少有4个同色三角形．

由（1）的证明知，此时，至少有2个同色三角形．不妨设其中一个为，去掉，对剩下的6个点又应有2个同色三角形，且异于，这就得到3个同色三角形．

这3个同色三角形有9个顶点，取自7个不同的点，故至少有2个顶点重合于某一，去掉，则去掉了2个同色三角形，剩下的6个点又应有2个同色三角形，它们与被去掉的2个同色三角形是不相同的，故一共有4个不同的同色三角形．

（3）由于每一个三角形都有红边，这4个同色三角形必为红色三角形，每个红色三角形的最短边必为另一个三角形的最长边．这就找到了4条连线（每个红色三角形的最短边，即使是两个红色三角形的公共边也没有关系），每一条既是一个三角形的最长边（红色），又是另一个三角形（所在红色三角形）的最短边．