Question

【题目】如图所示的几何体中，底面为菱形， ， ， 与相交于点，四边形为直角梯形， ， ， ，平面底面.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：

(1)利用题意证得平面.由面面垂直的判断定理可得平面平面.

(2)结合(1)的结论和题意建立空间直角坐标系，由平面的法向量可得二面角的余弦值为.

试题解析：

（1）因为底面为菱形，所以，

又平面底面，平面平面，

因此平面，从而.

又，所以平面，

由， ， ，

可知， ，

， ，

从而，故.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中， ，所以分别以， ， 的方向为， ， 轴正方向建立空间直角坐标系（如图示），

则， ， ， ， ，

所以 ， ， .

由（1）可知平面，所以平面的法向量可取为.

设平面的法向量为，

则即即令，得，

所以.

从而 .

故所求的二面角的余弦值为.