Question

已知函数f（x）=x³-mx²-x+1，其中m为实数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对一切的实数x，有f′（x）≥|x|-成立，其中f′（x）为f（x）的导函数．求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=3x²-2mx-1，
△=4m²+12＞0，
∴f′（x）=0有两个不相等的实数根：，，x₁＜x₂．
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，即f（x）单调递减；
当x＞x₂或x＜x₁时，f′（x）＞0，即f（x）单调递增．
综上所述，f（x）的单调递减区间为：[，]；
单调递增区间为：（-∞，）、（，+∞）．
（2）∵对一切的实数x，有f′（x）≥|x|-成立，
∴3x²-2mx-1）≥|x|-，
①当x＞0时，，
即3x+≥2m+1在x＞0时恒成立，
因为3x+≥2=3，
当x=时，等号成立，
所以3≥2m+1，即m≤1．
②当x＜0时，3|x|²+（2m-1）|x|+，
即3|x|+≥1-2m在x＜0时，恒成立，
∵3|x|+，
当x=-时等号成立．
所以3≥1-2m，即m≥-1．…（11分）
③当x=0时，m∈R．…（12分）
综上所述，实数m的取值范围是[-1，1]．…（13分）
分析：（1）由f′（x）=3x²-2mx-1，△=4m²+12＞0，知f′（x）=0有两个不相等的实数根：，，由此能求出f（x）的单调区间．
（2）由对一切的实数x，有f′（x）≥|x|-成立，知3x²-2mx-1）≥|x|-，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．
点评：本题主要考查函数的性质、导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．