Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3 （n∈N^*），其中m为常数，且m≠-3,m≠0.

（1）求证：{a_n}是等比数列；

（2）若数列{a_n}的公比q=f(m),数列{b_n}满足b₁=a₁,b_n=f(b_n-1) (n∈N,n≥2),求证：为等差数列，并求b_n.

Answer 1

（1）证明见解析（2）证明见解析

解析:

证明  （1）由(3-m)S_n+2ma_n=m+3,

得(3-m)S_n+1+2ma_n+1=m+3,

两式相减，得（3+m）a_n+1=2ma_n,m≠-3,

∴=≠0 (n≥1).∴{a_n}是等比数列.

（2）由(3-m)S₁+2ma₁=m+3,解出a₁=1,∴b₁=1.

q=f(m)= ,n∈N且n≥2时，

b_n=f(b_n-1)= ·，

b_nb_n-1+3b_n=3b_n-1，推出-=.

∴是以1为首项、为公差的等差数列.

∴=1+=.∴b_n=.