【题目】已知数列的前
项和为
,数列
是首项为0,公差为
的等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,对任意的正整数
,将集合
中的三个元素排成一个递增的等差数列,其公差为
,求证:数列
为等比数列;
(3)对(2)中的,求集合
的元素个数.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)
【解析】
(1)根据等差数列的通项公式,即可求得答案;
(2)由(1),求得
,根据
且
成等差数列,即可求得
,即可求证数列
为等比数列;
(3)要求集合中整数的个数,关键是求出与
的特征,
的特征与
的奇偶性有关,可运用二项式定理研究其性质,当
为奇数时,
,同样可得
,则集合的元素个数为
.同样求出
为偶数时的个数即可.
(1) 数列
的前
项和为
,数列
是首项为
,公差为
的等差数列
,
当时,
当时,
综上所述,,
.
(2)由(1)
则
且
成等差数列,
为常数,
为等比数列.
(3)①当为奇数时
同理可得,
则集合的元素个数为
②当为偶数时,同理可得
的元素个数为
综上所述,集合的元素个数:
.
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【题目】设函数的定义域为
,若存在非零实数
满足对任意
,均有
,且
,则称
为
上的
高调函数. 如果定义域为
的函数
是奇函数,当
时,
,且
为
上的8高调函数,那么实数
的取值范围为____.
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【题目】在一个给定的正边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点,任何一种选法的可能性是相等的,则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为______.
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【题目】已知函数在区间
上的最大值为4,最小值为1,记为
.
(1)求实数,
的值;
(2)若不等式成立,求实数
的取值范围;
(3)对于任意满足的自变量
,
,
,…,
,如果存在一个常数
,使得定义在区间
上的一个函数
,
恒成立,则称函数
为区间
上的有界变差函数,试判断函数
是否是区间
上的有界变差函数,若是,求出
的最小值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知函数是
上的偶函数,对于
都有
成立,且
,当
,
,且
时,都有
.则给出下列命题:①
;②
为函数
图象的一条对称轴;③函数
在
上为减函数;④方程
在
上有4个根;其中正确的命题个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量
的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件
发生的概率.
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