Question

(本小题满分l2分) 如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，ABC=60，EC面ABCD，FA面ABCD，G为BF的中点，若EG//面ABCD．

(I)求证：EG面ABF；

(Ⅱ)若AF=AB，求二面角B—EF—D的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)取AB的中点M，连结GM,MC，G为BF的中点……；（Ⅱ）=.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)取AB的中点M，连结GM,MC，G为BF的中点,

所以GM //FA,又EC面ABCD, FA面ABCD,

∵CE//AF,

∴CE//GM,………………2分

∵面CEGM面ABCD=CM,

EG// 面ABCD,

∴EG//CM,………………4分

∵在正三角形ABC中，CMAB,又AFCM

∴EGAB, EGAF,

∴EG面ABF.…………………6分

（Ⅱ）建立如图所示的坐标系,设AB=2,

则B（）E(0,1,1) F（0，-1，2）

=(0，-2,1) , =(,-1，-1),   =(,1， 1),………………8分

设平面BEF的法向量=（）则

     令，则,

∴=（）…………………10分

同理，可求平面DEF的法向量  =（-）

设所求二面角的平面角为，则

=.…………………12分

考点：本题主要考查立体几何中线面垂直及角的计算，空间向量的应用

点评：典型题，立体几何中平行、垂直关系的证明及角的计算问题是高考中的必考题，通过建立适当的坐标系，可使问题简化。