Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，AD=

3

，F是PB中点，E为BC上一点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；
（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C-PE-D为45°．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥平面PBC．
（Ⅱ）设BE=a，E（a，1，0求出平面PDE的法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出当BE=

5 3

6

时，二面角C-PE-D为45°．

解答： （Ⅰ）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=PA=1，AD=

3

，F是PB中点，
∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（

3

，1，0），

PB

=(0，1，-1)，

PC

=(

3

，1，-1)，F（0，

1

2

，

1

2

），

AF

=（0，

1

2

，

1

2

），
∵

AF

•

PB

=0，

AF

•

PB

=0，
∴AF⊥PB，AF⊥PB，
∴AF⊥平面PBC．
（Ⅱ）设BE=a，∴E（a，1，0），

DE

=(a-

3

，1，0)，

PD

=(

3

，0，-1)，
设平面PDE的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • DE =(a- 3 )x+y=0 n • PD = 3 x-z=0

，
取x=1，得

n

=（1，

3

-a，

3

），
平面PCE的法向量为

AF

=(0，

1

2

，

1

2

)，
∵二面角C-PE-D为45°，
∴cos＜

n

，

AF

＞=

3 - 1 2 a

2 2 • a2-2 3 a+7

=

2

2

，
解得a=

5 3

6

，
∴当BE=

5 3

6

时，二面角C-PE-D为45°．
AF⊥平面PBC．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查使得二面角为45°的线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．