Question

如图，平面ABB₁A₁为圆柱OO₁的轴截面，点C为

AB

上的点，点M为BC中点．
（1）求证：B₁M∥平面O₁AC；
（2）若2r=AB=AA₁，∠CAB=30°，求三棱锥A到平面O₁BM的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连结OB₁，OM，由已知条件推导出四边形AOB₁O₁为平行四边形，从而得到平面OMB₁∥平面O₁AC，由此能够证明B₁M∥平面O₁AC．
（2）利用等体积法，求点P到平面O₁BM的距离d．

解答： （1）证明：连结OB₁，OM，∵O₁B₁∥AB，且O₁B₁=OA
∴四边形AOB₁O₁为平行四边形，∴OB₁∥AO₁，
∴平面OMB₁∥平面O₁AC，
又∵B₁A?平面OMB₁，
∴B₁M∥平面O₁AC．
（2）利用等体积法，求点P到平面O₁BM的距离d．
∵2r=AB，∠CAB=30°，∴BC=r，AC=

3

r．
∵△ABC边AB上的高为

3

2

r，
∴设N在AB上，且MN⊥AB，
∴MN=

3 r

4

，MN是三棱锥M-O₁BA的高，
∵BC⊥AC，∴BC⊥平面A₁AC，
∵AC∥OM，AA₁∥OO₁，且OM∩OO₁=O，
∴平面A₁AC∥平面O₁OM，即BM⊥平面O₁OM，
∴BM⊥O₁M，
∴S△O1BM=

1

2

BM•O1M=

r2

8

19

，S△O1BA=

1

2

AB•O1O=2r²
∵VA-O1BM=VM-O1BA，
∴d•

r2

8

19

=

3 r

4

•2r²，
∴d=

4 57

19

r，
∴三棱锥A到平面O₁BM的距离为

4 57

19

r．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥A到平面O₁BM的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．