Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象关于直线x=-

b

2a

对称，则方程m[f（x）]²+nf（x）+p的根是否关于x=-

b

2a

对称（a，b，c，m，n，p为任意非零实数）？

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：设出m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解，分别求得此时解时f（x）=ax²+bx+c的x的值，进而根据二次函数的性质推断出结论．

解答： 解：设方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解为y₁，y₂
则必有y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c
那么从图象上看，y=y₁，y=y₂是一条平行于x轴的直线
它们与f（x）有交点
由于对称性，则方程y₁=ax²+bx+c的两个解x₁，x₂要关于直线x=-

b

2a

对称
同理方程y₂=ax²+bx+c的两个解x₃，x₄也要关于直线x=-

b

2a

对称，
∴方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0如果有两个根的话一定关于x=-

b

2a

对称，四个根的话是两两关于x=-

b

2a

对称．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，考查了学生推理和分析的能力．