Question

设函数f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2ax+4．
（1）若f（x）在区间（2，+∞）上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（2）设0＜a＜2，f（x）在[1，3]上的最小值为-

1

3

，求函数f（x）在该区间上的最大值点（f（x）的最大值所对应的x的值）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（2，+∞）上有解，只需f′（2）＞0即可，当a＞1时，f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间．
（2）解f′（x）=0，得出f（x）在区间（-∞，x₁），（x₂，+∞）上单调递减，在（x₁，x₂）上单调递增．讨论当0＜a＜2时，0＜a＜

7

6

时，

7

6

≤a＜2时的情况，从而解决问题．

解答： 解：（1）函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，
即f′（x）＞0在（2，+∞）上有解
因为f′（x）=-x²+x+2a，
所以只需f′（2）＞0即可，
所以由f'（2）=-4+2+2a=2a-2＞0，解得a＞1，
∴当a＞1时，f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间．
（2）由f′（x）=-x²+x+2a=0，解得：x₁=

1- 1+8a

2

，x₂=

1+ 1+8a

2

，
∴f（x）在区间（-∞，x₁），（x₂，+∞）上单调递减，在（x₁，x₂）上单调递增．
当0＜a＜2时，x₁＜0，1＜x₂＜3所以f（x）在[1，3]上的最大值点为x=x₂，
∵f（3）-f（1）=-

14

3

+4a，
∴0＜a＜

7

6

时，即f（3）＜f（1），
∴f（x）在[1，3]上的最小值为f（3）=6a-

1

2

=-

1

3

，解得：a=

1

36

，
∴函数f（x）的最大值点为x=x₂=

3+ 11

6

，

7

6

≤a＜2时，即f（1）＜f（3），
∴f（x）在[1，3]上的最小值为f（1）=2a+

25

6

=-

1

3

，解得：a=-

9

4

（舍）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．