Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：PB⊥AC；
（Ⅱ）当PD=2AB，E在何位置时，PB⊥平面EAC；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的情况下，求二面E-AC-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，证明

AC

•

PB

=0即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥PB，故只要AE⊥PB即可，设

PE

=λ

PB

，利用AE⊥PB得（λa-a，λa，2a-2λa）•（a，a，-2a）=0，即可得出结论；
（Ⅲ）＜

OB

，

OE

＞等于二面E-AC-B的平面角，利用向量的夹角公式，即可求解．

解答： （Ⅰ）证明：以D为原点DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB=a，PD=h． 
则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），P（0，0，h），
∵

AC

=（-a，a，0），

PB

=（a，a，-h）
∴

AC

•

PB

=0
∴AC⊥PB…（4分）
（Ⅱ）解：当PD=2AB时，P（0，0，2a），

PB

=（a，a，-2a）
由（Ⅰ）知AC⊥PB，故只要AE⊥PB即可
设

PE

=λ

PB

，P（x，y，z），则E（λa，λa，2a-2λa）
∴

AE

=（λa-a，λa，2a-2λa）
由AE⊥PB得（λa-a，λa，2a-2λa）•（a，a，-2a）=0
∴λ=

5

6

∴

PE

=

5

6

PB

，PB⊥平面EAC；…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知E（

5

6

a，

5

6

a，

1

3

a），设AC∩BD=O，则

OB

⊥

AC

，

OE

⊥

AC

，
∴＜

OB

，

OE

＞等于二面E-AC-B的平面角
∵

OB

=（

a

2

，

a

2

，0），

OE

=（

1

3

a，

1

3

a，

1

3

a）
∴cos＜

OB

，

OE

＞=

6

3

∴二面角E-AC-B的余弦值为

6

3

…..（13分）

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确求出向量的坐标是关键．