Question

如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠DAB=

π

3

，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，E、F分别在棱PC、PA上，CE=

1

3

CP，AF=

1

3

AP，G为PD中点，△PBD是边长为6的等边三角形．
（Ⅰ）求证：B、E、C、F四点共面；
（Ⅱ）求直线EP与平面BECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面BECF与平面ABCD所成锐二面角的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）设PO，BG交点为H，证明H，F，E三点共线，FE∩BG=H，即可证明：B、E、C、F四点共面；
（Ⅱ）∠PEG即为所求，求出PG，PE，即可求直线EP与平面BECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）判断∠GBD就是所求二面角的平面角，即可求平面BECF与平面ABCD所成锐二面角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：设PO，BG交点为H，则
∵O，G分别为BD，PD中点，
∴H为△PBD的重心，
∴OH=

1

3

OP
∵CE=

1

3

CP，
∴HE∥OC，
同理HF∥OA，
∴H，F，E三点共线，FE∩BG=H
∴B、E、C、F四点共面；
（Ⅱ）解：由题意，PO⊥AC，BD⊥AC，
∴AC⊥平面PBD，
∴AC⊥PD，
∴PD⊥EF，
∵PD⊥BG，
∴PD⊥平面BEGF，
∴∠PEG即为所求，
在直角△PEG中，PG=3，PE=2

6

，∠PGE=

π

2

，
∴直线EP与平面BECF所成角的正弦值为

PG

PE

=

6

4

；
（Ⅲ）解：设平面BECF∩平面ABCD=l，
∵EF∥AC，∴EF∥l，
∴∠GBD就是所求二面角的平面角，
在等边三角形ABD中，G为中点，∴∠GBD=30°．

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合，考查空间角，正确找出空间角是关键．