Question

如图，在?ABCD中，AB=

2

，BC=3，且∠ABC=45°，以BC为一直角边在BC的下方作Rt△EBC，BE=2．连结BD，过点E作EF平行BD，且EF=BD（点D，F在直线BE的同侧），则?ABCD与△BEF的面积之比为

 

．

Answer 1

考点：三角形的面积公式

专题：解三角形

分析：S_{平行四边形ABCD}=AB•BC•sin45°．在△ABD中，由余弦定理可得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos135°．在△ABD中，由正弦定理可得

AB

sin∠ADB

=

BD

sinA

，可得sin∠ADB=

ABsinA

BD

，于是可得cos∠ADB．因此点D到直线BE的距离h=BDcos∠ADB=4．由于四边形BEFD为平行四边形，可得D与F到直线BE的距离相等．可得△BEF的面积S_△BEF=

1

2

BE•h即可．

解答： 解：S_{平行四边形ABCD}=AB•BC•sin45°=

2

×3×

2

2

=3．
在△ABD中，由余弦定理可得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos135°=(

2

)2+32-2×

2

×3×(-

2

2

)=17，
∴BD=

17

．
在△ABD中，由正弦定理可得

AB

sin∠ADB

=

BD

sinA

，
∴sin∠ADB=

ABsinA

BD

=

2 ×sin135°

17

=

17

17

，
∴cos∠ADB=

4 17

17

．
∴点D到直线BE的距离h=BDcos∠ADB=4．
∵四边形BEFD为平行四边形，∴D与F到直线BE的距离相等．
∴△BEF的面积S_△BEF=

1

2

BE•h=

1

2

×2×4=4．
∴平行四边形ABCD与△BEF的面积之比为3：4．
故答案为：3：4．

点评：本题综合考查了三角形的正弦定理、余弦定理、平行四边形的面积、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．