Question

已知[x]表示不超过实数x的最大整数（x∈R），如：[-1.3]=-2，[0.8]=0，[3.4]=3．定义{x}=x-[x]，则：
（1）设函数f（x）=

x        x≥0 f(x+1)  x＜0

，则函数y=f（x）-

1

4

x-

1

4

的不同零点有

 

个；
（2）{

2013

2014

}+{

20132

2014

}+{

20133

2014

}+…+{

20132014

2014

}=

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,新定义,函数的性质及应用

分析：（1）画出函数f（x）的图象，画出直线y=

1

4

（x+1），通过图象观察即可判断函数零点的个数；
（2）通过二项式定理推得2013ⁿ=2014k+（-1）ⁿ，{

2013n

2014

}=

1

2014

（n为偶数）或

2013

2014

（n为奇数），即可得到答案．

解答： 解：（1）如图画出函数f（x）的图象，
画出直线y=

1

4

（x+1），通过图象观察，它们有两个交点，即函数y=f（x）-

1

4

x-

1

4

的不同零点有两个．
（2）2013ⁿ=（2014-1）ⁿ=2014ⁿ-C

1 n

2014^n-1+
C

2 n

2014^n-2+…+（-1）ⁿ=2014k+（-1）ⁿ，
∴

2013n

2014

=k+

(-1)n

2014

，{

2013n

2014

}=

1

2014

（n为偶数）或

2013

2014

（n为奇数）
∴{

2013

2014

}+{

20132

2014

}+{

20133

2014

}+…+{

20132014

2014

}=（

2013

2014

+

1

2014

）+（

2013

2014

+

1

2014

）+…+（

2013

2014

+

1

2014

）=1007．
故答案为：2，1007．

点评：本题考查分段函数的图象及应用，考查通过图象观察交点个数，判断函数零点个数，同时考查新定义的理解和运用，属于中档题．