Question

如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，且点P在边BC上运动．当

PA

•

PC

取得最小值时，则cos∠PAB的值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，A(0，

3

2

)，B（-

1

2

，0），C(

1

2

，0)．设P（x，0），(-

1

2

≤x≤

1

2

)．利用数量积和二次函数的单调性可得

PA

•

PC

(-x，

3

2

)•(

1

2

-x，0)=x2-

1

2

x=(x-

1

4

)2-

1

16

．当x=

1

4

时，当

PA

•

PC

取得最小值．再利用向量的夹角公式即可得出．

解答： 解：如图所示，
A(0，

3

2

)，B（-

1

2

，0），C(

1

2

，0)．
设P（x，0），(-

1

2

≤x≤

1

2

)．
∴

PA

•

PC

(-x，

3

2

)•(

1

2

-x，0)=x2-

1

2

x=(x-

1

4

)2-

1

16

．
当x=

1

4

时，当

PA

•

PC

取得最小值．
此时

AP

=(

1

4

，-

3

2

)，

AB

=(-

1

2

，-

3

2

)，

AP

•

PB

=-

1

8

+

3

4

=

5

8

，
|

AP

|=

( 1 4 )2+(- 3 2 )2

=

13

4

，
∴cos∠PAB=

AP • AB

| AP | | AB |

=

5 8

13 4

=

5 13

26

．
故答案为：

5 13

26

．

点评：本题考查了数量积和二次函数的单调性、向量的夹角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．