(本小题满分12分)
如图:四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ACB=90°,平面PAD⊥平面ABCD,PA=BC=1,PD=AB=,E、F分别为线段PD和BC的中点.
(Ⅰ) 求证:CE∥平面PAF;
(Ⅱ) 在线段BC上是否存在一点G,使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°?若存在,试确定G的位置;若不存在,请说明理由.
(1)取PA中点为H,连结CE、HE、FH,证出HE∥AD,,
由ABCD是平行四边形,且F为线段BC的中点 推出FC∥AD,,
从而进一步得出CE∥平面PAF;
(2)线段BC上存在一点G,使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°点G即为B点
解析试题分析:证明(1)取PA中点为H,连结CE、HE、FH,
因为H、E分别为PA、PD的中点,所以HE∥AD,,
因为ABCD是平行四边形,且F为线段BC的中点 所以FC∥AD,
所以HE∥FC, 四边形FCEH是平行四边形 所以EC∥HF
又因为
所以CE∥平面PAF ……………4分
(2)因为四边形ABCD为平行四边形且∠ACB=90°,
所以CA⊥AD 又由平面PAD⊥平面ABCD可得
CA⊥平面PAD 所以CA⊥PA
由PA=AD=1,PD=可知,PA⊥AD…………5分
所以可建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz
因为PA=BC=1,AB=所以AC=1 所以
假设BC上存在一点G,使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°,设点G的坐标为(1,a,0),
所以
设平面PAG的法向量为
则令
所以
又
设平面PCG的法向量为
则令
所以
……………9分
因为平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°,所以
所以又
所以
……………11分
所以线段BC上存在一点G,使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°点G即为B点……12分
考点:本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系,角的计算。
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。本题利用向量简化了证明过程。把证明问题转化成向量的坐标运算,这种方法带有方向性。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分13分)
如图1,在等腰梯形中,
,
,
,
为
上一点,
,且
.将梯形
沿
折成直二面角
,如图2所示.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)设点关于点
的对称点为
,点
在
所在平面内,且直线
与平面
所成的角为
,试求出点
到点
的最短距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分13分)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=CC1,M为AB的中点。
(Ⅰ)求证:BC1∥平面MA1C;
(Ⅱ)求证:AC1⊥平面A1BC。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题12分)在直三棱柱(侧棱垂直底面)中,
,
.
(Ⅰ)若异面直线与
所成的角为
,求棱柱的高;
(Ⅱ)设是
的中点,
与平面
所成的角为
,当棱柱的高变化时,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分10分)
如图所示是一个半圆柱与三棱柱
的组合体,其中,圆柱
的轴截面
是边长为4的正方形,
为等腰直角三角形,
.
试在给出的坐标纸上画出此组合体的三视图.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC ="∠BAD" =,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,且EF∥BC。设AE =
,G是BC的中点.沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如图).
(1)当=2时,求证:BD⊥EG ;
(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为,求
的最大值;
(3)当取得最大值时,求二面角D-BF-E的余弦值.
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