已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC ="∠BAD" =,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,且EF∥BC。设AE =,G是BC的中点.沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如图).
(1)当=2时,求证:BD⊥EG ;
(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为,求的最大值;
(3)当取得最大值时,求二面角D-BF-E的余弦值.
(1)建立空间坐标系E-xyz, B(2,0,0)D(0,2,2)E(0,0,0)G(2,2,0),
(-2,2,2)(2,2,0)=0∴(2)(3)
解析试题分析:(1)方法一:
∵平面平面,
AE⊥EF,∴AE⊥平面,AE⊥EF,AE⊥BE,
又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz.
,又为BC的中点,BC=4,
.则A(0,0,2),B(2,0,0),
G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0),
(-2,2,2),(2,2,0),
(-2,2,2)(2,2,0)=0,
∴.……4分
方法二:
作DH⊥EF于H,连BH,GH, 由平面平面知:DH⊥平面EBCF,
而EG平面EBCF,故EG⊥DH.
为平行四边形,且,四边形BGHE为正方形,∴EG⊥BH,BHDH=H,
故EG⊥平面DBH, 而BD平面DBH,∴ EG⊥BD.………4分
(或者直接利用三垂线定理得出结果)
(2)∵AD∥面BFC,所以 =VA-BFC=
,即时有最大值为. ………8分
(3)设平面DBF的法向量为,∵AE=2, B(2,0,0),
D(0,2,2),F(0,3,0),∴………9分
(-2,2,2),
则 ,即,
取,∴
,面BCF一个法向量为,
则cos<>=,………14分
考点:两线垂直的判定及求解二面角大小
点评:本题用向量方法求解比较简单
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
如图:四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ACB=90°,平面PAD⊥平面ABCD,PA=BC=1,PD=AB=,E、F分别为线段PD和BC的中点.
(Ⅰ) 求证:CE∥平面PAF;
(Ⅱ) 在线段BC上是否存在一点G,使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°?若存在,试确定G的位置;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分)如图,已知四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为菱形,PA平面ABCD,,BC=1,E为CD的中点,PC与平面ABCD成角。
(1)求证:平面EPB平面PBA;(2)求二面角P-BD-A 的余弦值
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(本小题满分12分)
如图,在□ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD="4." 将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求证:AB⊥DE;
(2)求三棱锥E—ABD的侧面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(14分)如右图,简单组合体ABCDPE,其底面ABCD为边长为的正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC=.
(1)若N为线段PB的中点,求证:EN//平面ABCD;
(2)求点到平面的距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面,在棱上.
(I)当时,求证平面
(II)当二面角的大小为时,求直线与平面所成角的正弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
如图,直三棱柱ABC?A1B1C1中, AC= BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.
(Ⅰ)证明:DC1⊥BC;
(Ⅱ)求二面角A1?BD?C1的大小.
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