Question

（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC?A₁B₁C₁中， AC= BC=AA₁，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD．
（Ⅰ）证明：DC₁⊥BC；
（Ⅱ）求二面角A₁?BD?C₁的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：见解析;（Ⅱ）二面角A₁?BD?C₁的大小为30^o．

解析试题分析：（I）易证DC₁⊥BD,再根据勾股定理证DC₁⊥DC,从而可证得DC₁⊥平面DCB,得到DC₁⊥BC.
(II)求二面角关键是作出二面角的平面角，取A₁B₁的中点为M，连结C₁M、DM,证明∠C₁DM是A₁?BD?C₁的平面角即可.
（Ⅰ）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．

∵D是AA₁的中点， ∴ DC = DC₁
又 AC=AA₁，∴ DC₁² + DC² =CC₁²
∴ DC₁⊥DC
又 DC₁⊥BD，且DC₁∩DC=D
∴ DC₁⊥平面DCB．
∴ DC₁⊥BC
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，DC₁⊥BC，
又CC₁⊥BC， DC₁∩CC₁=C₁
∴ BC⊥平面CDC₁
∵ B₁C₁∥BC     ∴B₁C₁⊥平面CDC₁
∴ B₁C₁⊥A₁C₁，△A₁C₁B₁为等腰直角三角形
取A₁B₁的中点为M，连结C₁M、DM
∵ 直棱柱的底面A₁B₁C₁⊥侧面AB₁，C₁M⊥A₁B₁
∴ C₁M⊥平面AB₁，C₁M⊥BD．
由（Ⅰ）知，DC₁⊥平面DCB，∴DC₁⊥BD
又C₁M∩DC₁=C₁，∴BD⊥平面C₁MD    MD⊥BD
∴∠C₁DM是A₁?BD?C₁的平面角．
在Rt△C₁MD中，C₁M=A₁C₁，C₁D= =A₁C₁，
∴sin∠C₁DM=  = ， ∴∠C₁DM=30^o
∴二面角A₁?BD?C₁的大小为30^o．
考点：本小题主要考查了线线，线面，面面之间的垂直与平行关系，以及二面角等知识.
点评：掌握线线，线面，面面平行与垂直的判定与性质是求解空间的角与距离的关键.求角的步骤为：一作，二证，三指，四求.