Question

13．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+a_n=1，数列{b_n}为等差数列，且b₁+b₂=b₃=3．
（1）求S_n；
（2）求数列（a_nb_n）的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N*，即可得到所求S_n；
（2）求得b₁=d=1，则b_n=1+n-1=n，n∈N*；则a_nb_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+a_n=1，①
当n=1时，有a₁=S₁，可得2a₁=1，即a₁=$\frac{1}{2}$；
当n≥2时，S_n-1+a_n-1=1，②
①-②可得S_n-S_n-1+a_n-a_n-1=0，
2a_n=a_n-1，可得{a_n}为首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
即有a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N*，
数列{b_n}为公差为d的等差数列，且b₁+b₂=b₃=3，
可得2b₁+d=b₁+2d=3，
解得b₁=d=1，
则b_n=1+n-1=n，n∈N*；
（2）a_nb_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n项和T_n=1•（$\frac{1}{2}$）+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+3•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
上面两式相减可得，$\frac{1}{2}$T_n=（$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得，T_n=2-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．