【题目】已知函数,.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若恒成立,求参数的取值范围.
【答案】见解析
【解析】(Ⅰ),函数的定义域为.
. ---------------1分
.
(1)当,即时,恒成立,所以函数在上单调递增; ---------------------------2分
(2)当,即时,方程有两个根.
解得,.
①当时,,.
此时,函数在上单调递增. ------------4分
②当时,.
此时,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.-----------6分
综上,当时,函数的单调递增区间为,无单调递减区间;
当时,函数的单调递增区间为,;单调递减区间为. -----------7分
(Ⅱ)不等式,即,
又因为,故分离参数可得. ----------9分
记,
则. -------------10分
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增.
所以函数的最小值为. ---------------12分
所以由不等式恒成立可得. ---------------------13分
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性、含参函数的单调区间、不等式恒成立求参数范围等,考查基本的逻辑推理能力、运算能力以及数学应用意识等.
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【题目】某市为了制定合理的节电方案,供电局对居民用电进行了调查,通过抽样,获得了某年200户居民每户的月均用电量(单位:度),将数据按照, , , , , , , , 分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求直方图中的值并估计居民月均用电量的中位数;
(Ⅱ)现从第8组和第9组的居民中任选取2户居民进行访问,则两组中各有一户被选中的概率.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为 ,直线y=x+2过椭圆C的左焦点F1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设过点A(0,﹣1)的直线l与椭圆交于不同两点M、N,当△MON的面积为 时,求直线l的方程.
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【题目】已知向量=(2cos, sin),=(cos,2cos),(ω>0),设函数f(x)=,且f(x)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求f(x)的单调递增区间.
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【题目】如图,多面体中,四边形为平行四边形,其中,,,等边所在平面与平面垂直,平面,且.
(Ⅰ)点在棱上,且,为的重心,求证:平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
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【题目】“中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书),比韩国的11本.法国的20本.日本的40本.犹太人的64本少得多,是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的,而且和其他国家相比,我国国民的阅读量如此之低,也和我国是传统的文明古国.礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站,由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内看书人员进行年龄调查,随机抽取了一天名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段: , , , , , 后得到如图所示的频率分布直方图.问:
(1)估计在40名读书者中年龄分布在的人数;
(2)求40名读书者年龄的平均数和中位数;
(3)若从年龄在的读书者中任取2名,求恰有1名读书者年龄在的概率.
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【题目】现如今网上购物已经习以为常,变成人们日常生活的一部分,冲击着人们的传统消费习惯、思维和生活方式,以其特殊的优势而逐渐深入人心.某市场调研机构对在“双十一”购物的名年龄在岁的消费者进行了年龄段和性别分布的调查,其部分结果统计如下表:
年龄(岁) | |||||
女 | 70 | 50 | 40 | 30 | 20 |
男 | 30 | 20 | 15 | 10 |
(1)若按年龄用分层抽样的方法抽取84个人,其中在内抽取了36人,求的值.
(2)在(1)的条件下,用分层抽样的方法在岁的消费者中抽取一个容量为8的本,将该样本看成一个总体,从中任取3人,记表示抽得女性消费者的人数,求随机变量的分布列和数学期望.
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