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设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)在R上是减函数.
分析:(1)由已知中,对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n),令m=0,易得f(0)=1;
(2)令m=-n,结合(1)的结论,可得f(x)与f(-x)互为倒数,结合当x>0时,0<f(x)<1,易得答案;
(3)设x1>x2,易根据f(m+n)=f(m)•f(n)得:f(x1)=f(x2)•f(x1-x2),根据当x∈R时,恒有f(x)>0,利用作商法,可得f(x1)<f(x2),进而根据函数单调性的定义,即可得到答案.
解答:证明:(1)∵m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n),
令m=0
则f(n)=f(0)•f(n),
则f(0)=1
(2)由(1)中结论可得:
令m=-n
则f(0)=f(-n)•f(n)=1,
∴f(x)与f(-x)互为倒数,
∵当x>0时,0<f(x)<1,
∴当x<0时,f(x)>1,
又由x=0时,f(0)=1
故当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)设x1>x2
∴f(x1)=f(x2+(x1-x2))=f(x2)•f(x1-x2
由(2)知当x∈R时,恒有f(x)>0,
所以
f(x1)
f(x2)
=f(x1-x2)<1
所以f(x1)<f(x2
∴f(x)在R上是减函数
点评:本题考查的知识点是抽象函数及其应用,其中(1)(2)的关键是“凑”的思想,而(3)的关键是根据(2)的结论,而选择作商法是解答的关键.
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