Question

20．设函数f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），$\frac{1}{9}$≤x≤9，则f（x）的最小值为-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 f（x）=log₃（9x）•log₃（3x）=$（lo{g}_{3}x）^{2}+3lo{g}_{3}x+2$，令t=log₃x，则-2≤t≤2，由此能求出函数f（x）的最小值．

解答 解：∵$\frac{1}{9}$≤x≤9，
∴f（x）=log₃（9x）•log₃（3x）
=（log₃x+2）（log₃x+1）
=$（lo{g}_{3}x）^{2}+3lo{g}_{3}x+2$，
令t=log₃x，则-2≤t≤2，
∴g（t）=t²+3t+2，
当=-$\frac{3}{2}$时，函数取得最小值-$\frac{1}{4}$．
故答案为：-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查函数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数运算法则及换元法的合理运用．