Question

10．已知函数f（x）=$\frac{-{3}^{x}+a}{{3}^{x+1}+b}$．
（1）当a=b=1时，求满足f（x）=3^x的x的取值；
（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数
①存在t∈R，不等式f（t²-2t）＜f（2t²-k）有解，求k的取值范围；
②若函数g（x）满足f（x）•[g（x）+2]=$\frac{1}{3}$（3^-x-3^x），若对任意x∈R，不等式g（2x）≥m•g（x）-11恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）把a=b=1代入f（x），化简得3•（3^x）²+2•3^x-1=0，求解即可得答案；
（2）①f（x）是奇函数，得f（-x）+f（x）=0，代入原函数求解得a，b的值，判断函数f（x）的单调性，不等式f（t²-2t）＜f（2t²-k）恒成立，由函数的单调性可得k的取值范围；
②由f（x）•[g（x）+2]=$\frac{1}{3}$（3^-x-3^x），化简得不等式g（2x）≥m•g（x）-11恒成立，然后构造函数和由函数f（x）的单调性即可求得实数m的最大值．

解答 解：（1）由题意，$\frac{-{3}^{x}+1}{{3}^{x+1}+1}={3}^{x}$，化简得3•（3^x）²+2•3^x-1=0，
解得3^x=-1（舍）或${3}^{x}=\frac{1}{3}$，
∴x=-1；
（2）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴$\frac{-{3}^{-x}+a}{{3}^{-x+1}+b}+\frac{-{3}^{x}+a}{{3}^{x+1}+b}=0$，
化简并变形得：（3a-b）（3^x+3^-x）+2ab-6=0，
要使上式对任意的x成立，则3a-b=0且2ab-6=0，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∵f（x）的定义域是R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，（舍去）
∴a=1，b=3，∴$f（x）=\frac{-{3}^{x}+1}{{3}^{x+1}+3}$．
①$f（x）=\frac{-{3}^{x}+1}{{3}^{x+1}+3}$=$\frac{1}{3}（-1+\frac{2}{{3}^{x}+1}）$对任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{3}（\frac{2}{{3}^{{x}_{1}}+1}-\frac{2}{{3}^{{x}_{2}}+1}）$=$\frac{2}{3}[\frac{{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}]$，
∵x₁＜x₂，∴${3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}＞0$，∴f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）在R上递减．                   
∵f（t²-2t）＜f（2t²-k），
∴t²-2t＞2t²-k，
即t²+2t-k＜0在t∈R时有解
∴△=4+4k＞0，解得：k＞-1，
∴k的取值范围为（-1，+∞）；
②∵f（x）•[g（x）+2]=$\frac{1}{3}$（3^-x-3^x），
∴$g（x）=\frac{{3}^{-x}-{3}^{x}}{3f（x）}-2$即g（x）=3^x+3^-x，
∴g（2x）=3^2x+3^-2x=（3^x+3^-x）²-2，
不等式g（2x）≥m•g（x）-11恒成立，
即（3^x+3^-x）²-2≥m•（3^x+3^-x）-11，
即：$m≤{3}^{x}+{3}^{-x}+\frac{9}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$恒成立．
令t=3^x+3^-x，t≥2，则$m≤t+\frac{9}{t}$在t≥2时恒成立，
令$h（t）=t+\frac{9}{t}$，${h}^{′}（t）=1-\frac{9}{{t}^{2}}$，
t∈（2，3）时，h′（t）＜0，∴h（t）在（2，3）上单调递减，
t∈（3，+∞）时，h′（t）＞0，∴h（t）在（3，+∞）上单调递增，
∴h（t）_min=h（3）=6，∴m≤6．
∴实数m的最大值为6．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查不等式恒成立问题，注意运用参数分离，转化为求最值问题，考查运算能力，属于难题．