Question

2．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（1）分别求出f（2），f（$\frac{1}{2}$），f（3），f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）根据（1）中所求得的结果，写出f（x）与f（$\frac{1}{x}$）之间满足的等式关系，并证明这个等式关系．

Answer 1

分析 （1）根据函数的解析式依次求出f（2），f（$\frac{1}{2}$），f（3），f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）由（1）归纳出f（x）与f（$\frac{1}{x}$）满足的关系时，根据解析式化简f（x）+f（$\frac{1}{x}$）即可．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
则f（2）=$\frac{4}{1+4}$=$\frac{4}{5}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{5}$，
f（3）=$\frac{9}{10}$，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{1}{10}$；
（2）由（1）可得f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，
证明如下：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$
=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{1+{x}^{2}}$=1，
所以结论成立．

点评 本题考查函数值以及函数值的规律性，归纳推理的应用，考查化简能力．