Question

14．设a＞0，b＞0，且a+b=$\frac{1}{\sqrt{ab}}$．
（1）求a²+b²的最小值；
（2）是否存在a，b，使（a+b）（a+b+1）=2？说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意和基本不等式可得0＜ab≤$\frac{1}{2}$，而a²+b²=$\frac{1}{ab}$-2ab，由函数的单调性可得；
（2）假设存在a，b，使（a+b）（a+b+1）=2，会推出$\frac{1}{\sqrt{ab}}$=a+b=1，即ab=1，这与0＜ab≤$\frac{1}{2}$矛盾．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{ab}}$=a+b≥2$\sqrt{ab}$，∴0＜ab≤$\frac{1}{2}$
当且仅当a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，ab取最大值$\frac{1}{2}$，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=$\frac{1}{ab}$-2ab，
令ab=x，0＜x≤$\frac{1}{2}$，则函数y=$\frac{1}{x}$-2x，
易判函数在0＜x≤$\frac{1}{2}$单调递减，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，函数取最小值1；
（2）假设存在a，b，使（a+b）（a+b+1）=2，
即（a+b）²+（a+b）-2=0成立，即（a+b+2）（a+b-1）=0成立，
∴有a+b=1，或a+b=-2（舍去），
∴$\frac{1}{\sqrt{ab}}$=a+b=1，即ab=1，这与0＜ab≤$\frac{1}{2}$矛盾，
故不存在a，b，使（a+b）（a+b+1）=2

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及存在性问题和函数的单调性，属中档题．