Question

【题目】如图，抛物线E：y2=2px（p＞0）与圆O：x2+y2=8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过劣弧AB上动点P（x0 ， y0）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1 ， l2 ， l1与l2相交于点M．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2），
代入y2=2px，解得p=1，
（Ⅱ）设 ， ，y1≠0，y2≠0．
切线l1： ，
代入y2=2x得 ，由△=0解得 ，
∴l1方程为 ，同理l2方程为 ，
联立 ，解得 ，
∵CD方程为x0x+y0y=8，其中x0 ， y0满足 ， ，
联立方程 得 ，则 ，
代入 可知M（x，y）满足 ，
代入 得 ，
考虑到 ，知 ．
∴动点M的轨迹方程为 ，
【解析】（Ⅰ）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2），代入y2=2px，解p．（Ⅱ）设 ， ，y1≠0，y2≠0．切线l1： ，代入y2=2x，求出 ，得到l1方程为 ，同理l2方程为 ，联立直线方程组，求出M，利用CD方程为x0x+y0y=8，联立方程 利用韦达定理，代入 可知M（x，y）满足 ，求出动点M的轨迹方程．