【题目】已知函数f(x)=xlnx﹣aex(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.
B.(0,e)
C.
D.(﹣∞,e)
【答案】A
【解析】解:f′(x)=lnx﹣aex+1, 若函数f(x)=xlnx﹣aex有两个极值点,
则y=a和g(x)= 在(0,+∞)有2个交点,
g′(x)= ,(x>0),
令h(x)= ﹣lnx﹣1,则h′(x)=﹣ ﹣ <0,
h(x)在(0,+∞)递减,而h(1)=0,
故x∈(0,1)时,h(x)>0,即g′(x)>0,g(x)递增,
x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即g′(x)<0,g(x)递减,
故g(x)max=g(1)= ,
而x→0时,g(x)→﹣∞,x→+∞时,g(x)→0,
若y=a和g(x)在(0,+∞)有2个交点,
只需0<a< ,
故选:A.
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是 (t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;
(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA||PB|=1,求实数m的值.
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【题目】已知函数f(x)=1nx.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求证:当x>0时, ;
(Ⅲ)若x﹣1>a1nx对任意x>1恒成立,求实数a的最大值.
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【题目】如图,抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0 , y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1 , l2 , l1与l2相交于点M.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)求动点M的轨迹方程.
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【题目】(2015·新课标I卷)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|, a>0.
(1)当a=1时求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
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【题目】通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男 | 女 | 合 计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 20 | 30 | 50 |
合 计 | 60 | 50 | 110 |
根据上述数据能得出的结论是( )
(参考公式与数据:X2= .当X2>3.841时,有95%的把握说事件A与B有关;当X2>6.635时,有99%的把握说事件A与B有关; 当X2<3.841时认为事件A与B无关.)
A.有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”.
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,△ABC是边长为2的正三角形,∠PCA=90°,E,H分别为AP,AC的中点,AP=4,BE= .
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEH;
(Ⅱ)求直线PA与平面ABC所成角的正弦值.
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