Question

17．已知x₁，x₂分别是2^x+2x-5=0，log₂（x-1）²+2x-5=0的两根，则x₁+x₂=$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 先由题中已知分别将x₁、x₂所满足的关系表达为，2x₁=2log₂（5-2x₁），系数配为2是为了与下式中的2x₂对应2x₂+2log₂（x₂-1）=5，观察两个式子的特点，发现要将真数部分消掉求出x₁+x₂，只须将5-2x₁化为2（t-1）的形式，则2x₁=7-2t，t=x₂

解答 解：由题意：${2}^{{x}_{1}}+2{x}_{1}-5=0$①
2log₂（x₂-1）+2x₂-5=0  ②
所以由①得：${2}^{{x}_{1}}=-2{x}_{1}+5$，即x₁=log₂（5-2x₁）即2x₁=2log₂（5-2x₁），
令2x₁=7-2t，代入上式得7-2t=2log₂（2t-2）=2+2log₂（t-1）⇒5-2t=2log₂（t-1）．
又∵由②式得：5-2x₂=2log₂（x₂-1），易知t=x₂
于是2x₁=7-2x₂
即x₁+x₂=$\frac{7}{2}$，
故答案为：$\frac{7}{2}$

点评 本题涉及的是两个非整式方程，其中一个是指数方程，一个是对数方程，这两种方程均在高考考纲范围之内，因此此题中不用分别解出两个方程，分别求出x₁，x₂，再求x₁+x₂，这样做既培养不了数学解题技巧，也会浪费大量时间．