Question

3．函数f（x）=（m²-m-1）x${\;}^{4{m}^{9}-{m}^{5}-1}$是幂函数，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，满足$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（　　）

• A． 恒大于0
• B． 恒小于0
• C． 等于0
• D． 无法判断

Answer 1

分析 根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，利用函数f（x）的奇偶性与单调性，求出f（a）+f（b）＞0．

解答 解：根据题意，得
f（x）=（m²-m-1）x${\;}^{4{m}^{9}-{m}^{5}-1}$是幂函数，
∴m²-m-1=1，
解得m=2或m=-1；
又f（x）在第一象限是增函数，
且当m=2时，指数4×2⁹-2⁵-1=2015＞0，满足题意；
当m=-1时，指数4×（-1）⁹-（-1）⁵-1=-4＜0，不满足题意；
∴幂函数f（x）=x²⁰¹⁵是定义域R上的奇函数，且是增函数；
又∵a，b∈R，且a+b＞0，∴a＞-b，
又ab＜0，不妨设b＜0，
即a＞-b＞0，∴f（a）＞f（-b）＞0，
f（-b）=-f（b），
∴f（a）＞-f（b），∴f（a）+f（b）＞0．
故选：A．

点评 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目．