Question

11．设集合A={x|x≤-1或x≥4}，B={x|2a≤x≤a+2}．
（1）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围；
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若A∩B≠∅，共包含两种情况，一是B为空集，一是B不为空集，但B与A无公共元素，由此我们可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．
（2）若A∩B=B，则可分为三种情况，一是B为空集，二是B满足A中x+1≤0，三是B满足A中x-4≥0；构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵A∩B≠∅，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a≤a+2}\\{a+2≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2a≤a+2}\\{2a≤-1}\end{array}\right.$，
∴a=2或a≤-$\frac{1}{2}$；
（2）∵A∩B=B∴B⊆A，有三种情况：
①$\left\{\begin{array}{l}{2a≤a+2}\\{a+2≤-1}\end{array}\right.$，∴a≤-3；
②$\left\{\begin{array}{l}{2a≤a+2}\\{2a≥4}\end{array}\right.$，∴a=2；
③B=∅，∴2a＞a+2，∴a＞2．
综上，a的取值范围为a≤-3，或a≥2．

点评 本题考查的知识点是交集及其运算及集合的包含关系判断及应用，本题的解答过程中易忽略B为空集的情况．