Question

13．已知α、β∈（0，$\frac{π}{4}$），$\frac{tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{1}{4}$，且3sinβ=sin（2α+β），则α+β的值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再根据两角和差的正弦公式，求得tan（α+β）=2tanα=1，从而求得 α+β的值．

解答 解：∵α、β∈（0，$\frac{π}{4}$），$\frac{tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{2}$tanα=$\frac{1}{4}$，∴tanα=$\frac{1}{2}$．
由3sinβ=sin（2α+β），可得3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
可得 2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，tan（α+β）=2tanα=1，
∴α+β=$\frac{π}{4}$，
故选：B．

点评 本题主要考查两角和的正切公式，两角和差的正弦公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．