【题目】如图,四棱锥中,,,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)在线段上是否存在点,使得平面与平面所成锐二面角为?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见证明;(2)见解析
【解析】
(1)利用余弦定理计算BC,根据勾股定理可得BC⊥BD,结合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD,于是平面PBD⊥平面PBC;(2)建立空间坐标系,设λ,计算平面ABM和平面PBD的法向量,令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于,解方程得出λ的值,即可得解.
(1)证明:因为四边形为直角梯形,
且, ,,
所以,
又因为。根据余弦定理得
所以,故.
又因为, ,且,平面,所以平面,
又因为平面PBC,所以
(2)由(1)得平面平面,
设为的中点,连结 ,因为,
所以,,又平面平面,
平面平面,
平面.
如图,以为原点分别以,和垂直平面的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
假设存在满足要求,设,即,
所以,
易得平面的一个法向量为.
设为平面的一个法向量,,
由得,不妨取.
因为平面与平面所成的锐二面角为,所以,
解得,(不合题意舍去).
故存在点满足条件,且.
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【题目】回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸,可能节约用水约100吨,节约用煤约1.2吨,回收1吨废铅蓄电池可再生铅约0.6吨,可节约用煤约0.8吨,节约用水约120吨,回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元,回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元,在保证节约用煤不少于12吨的前提下,最多可节约用水约__________吨.
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【题目】已知椭圆C的两个顶点分别为A(2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4:5.
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【题目】如图,正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直,,,M是AB的中点.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在线段EC上是否存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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