【题目】如图,正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直,,,M是AB的中点.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在线段EC上是否存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3) 在线段EC上存在点P,理由见解析.
【解析】
(1)推导出,从而平面ABCD,由此能证明.
(2)推导出,,从而MB、MC、ME两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值.
(3)求出和平面ABE的法向量,利用向量法能示出在线段EC上存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为,且.
证明:Ⅰ,M是AB的中点,,
平面平面ABCD,
平面平面,平面ABE,
平面ABCD,平面ABCD,
解:(2) 平面ABCD,,是正三角形,
、MC、ME两两垂直.
建立如图所示空间直角坐标系
则0,,0,,0,,,0,,
,0,,
设y,是平面BCE的一个法向量,
则,
令,得,
轴与平面ABE垂直,1,是平面ABE的一个法向量
,
二面角的余弦值为
(3)假设在线段EC上存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为.
0,,,
设,,
则,
直线AP与平面ABE所成的角为,
,
由,解得,
在线段EC上存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为,且
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【题目】如图,四棱锥中,,,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)在线段上是否存在点,使得平面与平面所成锐二面角为?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点为别为F1、F2,且过点和.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,点A为椭圆上一位于x轴上方的动点,AF2的延长线与椭圆交于点B,AO的延长线与椭圆交于点C,求△ABC面积的最大值,并写出取到最大值时直线BC的方程.
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【题目】某厂包装白糖的生产线,正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布(单位:).
(Ⅰ)求正常情况下,任意抽取一包白糖,质量小于的概率约为多少?
(Ⅱ)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖,称得其质量均小于,检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理?请说明理巾.
附:,则,,.
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【题目】已知椭圆的离心率为,且经过点P,过它的左、右焦点分别作直线l1和12.l1交椭圆于A.两点,l2交椭圆于C,D两点, 且
(1)求椭圆的标准方程.
(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围.
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【题目】在四棱锥中,底面为平行四边形,平面平面,是边长为4的等边三角形,,是的中点.
(1)求证:;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求平面 与平面所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】已知点P在曲线x2+y2=1上运动,过点P作x轴的垂线,垂足为Q,动点M满足.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)点AB在直线x﹣y﹣4=0上,且AB=4,求△MAB的面积的最大值.
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【题目】抛物线的焦点为,准线为,若为抛物线上第一象限的一动点,过作的垂线交准线于点,交抛物线于两点.
(Ⅰ)求证:直线与抛物线相切;
(Ⅱ)若点满足,求此时点的坐标.
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