Question

2．如图，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长．C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于点A，B，两直线MA，MB分别与C₁相交于点D，E．
①曲线C₁，C₂的方程分别为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，y=x²-1；
②MD⊥ME；
③若椭圆C₁的左右顶点分别为P、Q两点，则k_DP•k_DQ=-$\frac{1}{4}$；
④记△MAB，△MDE的面积分别为S₁，S₂，则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值为$\frac{25}{64}$．
以上列说法正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C₁，C₂的方程；
②把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出k_MA•k_MB=-1，即可证明：MD⊥ME；
③直接利用斜率公式，即可得出结论；
④先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S₁，同理可求S₂．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．

解答 解：①由题得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而a=2b，又2$\sqrt{b}$=a，解得a=2，b=1，
故C₁，C₂的方程分别为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，y=x²-1，故正确．
②由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，
与y=x²-1联立得x²-kx-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个实根，
于是x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，又点M的坐标为（0，-1），
所以k_MA•k_MB=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}$=-1．
故MA⊥MB，即MD⊥ME，正确．
③设D（x，y），P（-2，0），Q（2，0），则k_DP•k_DQ=$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$，正确；
④设直线MA的斜率为k₁，则直线MA的方程为y=k₁x-1．
与y=x²-1联立解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x={k}_{1}}\\{y={{k}_{1}}^{2}-1}\end{array}\right.$．
则点A的坐标为（k₁，k₁²-1）．
又直线MB的斜率为-$\frac{1}{{k}_{1}}$，同理可得点B的坐标为（-$\frac{1}{{k}_{1}}$，$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$-1）．
于是S₁=$\frac{1}{2}$|MA|•|MB|=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•|k₁|•$\sqrt{1+\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}}$•|-$\frac{1}{{k}_{1}}$|=$\frac{1+{{k}_{1}}^{2}}{2|{k}_{1}|}$．
由y=k₁x-1与椭圆方程联立得（1+4k₁²）x²-8k₁x=0．
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}\\{y=\frac{4{{k}_{1}}^{2}-1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}\end{array}\right.$，则点D的坐标为（$\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4{{k}_{1}}^{2}-1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$）．
又直线ME的斜率为-$\frac{1}{{k}_{1}}$．同理可得点E的坐标为（-$\frac{8{k}_{1}}{4+{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4-{{k}_{1}}^{2}}{4+{{k}_{1}}^{2}}$）．
于是S₂=$\frac{1}{2}$|MD|•|ME|=$\frac{32（1+{{k}_{1}}^{2}）|{k}_{1}|}{（1+4{{k}_{1}}^{2}）（{{k}_{1}}^{2}+4）}$．
故 $\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{64}$（4k₁²+$\frac{4}{{{k}_{1}}^{2}}$+17）≥$\frac{25}{64}$，所以$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最小值为$\frac{25}{64}$，不正确．
故选C．

点评 本题是对椭圆与抛物线以及直线与抛物线和直线与椭圆的综合问题的考查．是一道整理过程很麻烦的题，需要要认真，细致的态度才能把题目作好．