Question

【题目】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R）满足条件：①当x∈R时，f（x）的最大值为0，且f（x﹣1）=f（3﹣x）成立；②二次函数f（x）的图象与直线y=﹣2交于A、B两点，且|AB|=4
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求最小的实数n（n＜﹣1），使得存在实数t，只要当x∈[n，﹣1]时，就有f（x+t）≥2x成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x﹣1）=f（3﹣x）可知函数f（x）的对称轴为x=1，
由f（x）的最大值为0，可假设f（x）=a（x﹣1）2 ． （a＜0）
令a（x﹣1）2=﹣2，x=1，则易知2=4，a=﹣．
所以，f（x）=﹣（x﹣1）2 ．
（Ⅱ）由f（x+t）≥2x可得，-（x﹣1+t）2≥2x，即x2+2（t+1）x+（t﹣1）2≤0，
解得﹣t﹣1-2≤x，
又f（x+t）≥2x在x∈[n，﹣1]时恒成立，
可得由（2）得0≤t≤4．
令g（t）=﹣t﹣1﹣2，易知g（t）=﹣t﹣1﹣2单调递减，
所以，g（t）≥g（4）=﹣9，
由于只需存在实数，故n≥﹣9，则n能取到的最小实数为﹣9．
此时，存在实数t=4，只要当x∈[n，﹣1]时，就有f（x+t）≥2x成立．
【解析】（Ⅰ）根据题意可假设f（x）=a（x﹣1）2 ． （a＜0），令a（x﹣1）2=﹣2，x=1 ， 求解即可得出解析式．
（Ⅱ）利用不等式解得﹣t﹣1-2≤x ， 又f（x+t）≥2x在x∈[n，﹣1]时恒成立，转化为令g（t）=﹣t﹣1﹣2 ， 易知g（t）=﹣t﹣1﹣2单调递减，
所以，g（t）≥g（4）=﹣9，得出n能取到的最小实数为﹣9．