Question

10．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（　　）

• A． $y=\sqrt{x}$
• B． y=-sinx
• C． $y=\frac{1}{x}$
• D． $y=\frac{{{x^2}-1}}{x}$

Answer 1

分析 奇函数的图象关于原点对称，从而由$y=\sqrt{x}$的图象知A错误，根据y=sinx的图象便可得出y=-sinx的图象，从而可判断出B错误，由$y=\frac{1}{x}$的单调性知C错误，而根据奇函数和增函数的定义便可判断D正确．

解答 解：A.$y=\sqrt{x}$的图象不关于原点对称，∴该函数不是定义域上的奇函数，∴该选项错误；
B．y=sinx在（0，1）上单调递增，∴y=-sinx在（0，1）上单调递减，∴该选项错误；
C.$y=\frac{1}{x}$在（0，1）内单调递减，∴该选项错误；
D.$y=\frac{{x}^{2}-1}{x}=x-\frac{1}{x}$，显然该函数为定义域上的奇函数；
x∈（0，1）时，x增大时$\frac{1}{x}$减小，$-\frac{1}{x}$增大，∴$x-\frac{1}{x}$增大，即y增大；
∴该函数在（0，1）内单调递增，∴该选项正确．
故选：D．

点评 考查奇函数图象的对称性，清楚y=$\sqrt{x}$，y=sinx以及y=$\frac{1}{x}$的图象，奇函数的定义，增函数的定义．