Question

20．在△ABC中，tanA=2，角C=45°
（1）求tan（A+C）
（2）求tanB；
（3）$若AB=\sqrt{2}，求AC$．

Answer 1

分析 由条件分别利用两角和差的正切公式、诱导公式、正弦定理，求得结论．

解答 解：（1）∵△ABC中，tanA=2，角C=45°，∴tanC=1，
∴tan（A+C）=$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=$\frac{2+1}{1-2×1}$=-3．
（2）tanB=-tan（A+C）=3．
（3）由（2）可得，tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=3，sin²B+cos²B=1，∴sinB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
再根据正弦定理可得$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{AB}{sinC}$，即 $\frac{AC}{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，∴AC=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查两角和差的正切公式、诱导公式、正弦定理，属于基础题．