Question

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的一条渐近线向上平移两个单位长度后与抛物线y²=4x相切，则双曲线的离心率e=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由题意分两种情况求解，分别求出双曲线的渐近线方程，再求出平移后的直线方程，与抛物线方程联立化简后，由相切的条件可得△=0，化简后由a、b、c的关系求出离心率．

解答 解：（1）当双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线方程为：$y=-\frac{b}{a}x$，
此渐近线向上平移两个单位可得，$y=-\frac{b}{a}x+2$，
则由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{b}{a}x+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2}-（\frac{4b}{a}+4）x+4=0$，
所以△=$（\frac{4b}{a}+4）^{2}-4×\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}×4=0$，
化简得，$\frac{2b}{a}+1=0$，不成立；
（2）当双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线方程为：$y=\frac{b}{a}x$，
此渐近线向上平移两个单位可得，$y=\frac{b}{a}x+2$，
则由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2}+（\frac{4b}{a}-4）x+4=0$，
所以△=${（\frac{4b}{a}-4）}^{2}-4×\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}×4=0$，
化简得，$-\frac{2b}{a}+1=0$，则a=2b，
所以c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}b$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查求双曲线离心率、标准方程与简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查了化简、变形能力．