Question

定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的界．已知函数f(x)=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x在区间[0，+∞）上是以3为界的有界函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，-3≤1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x≤3，即

a≤2x+1-2-x a≥-4•2x-2-x

对区间[0，+∞）上任意x恒成立，从而化为最值问题．

解答： 解：由题意，-3≤1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x≤3，
故

a≤2x+1-2-x a≥-4•2x-2-x

对区间[0，+∞）上任意x恒成立，
设t=2^x，t≥1，记h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

可知h（t）在区间上递减，p（t）在区间[1，+∞）上递增，
所以h（t）最大值为-5，p（t）最小值为1-5≤a≤1；
答案：[-5，1]．

点评：本题考查了恒成立问题及学生对新定义的接受与应用能力，属于中档题．