Question

已知函数f（x）=x²-x+13，且|x-m|＜1，求证：|f（x）-f（m）|＜2（|m|+1）．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：推理和证明

分析：利用已知条件化简所证明的不等式的左侧，分解因式化为乘积的形式，利用|x-m|＜1放大左侧，然后利用绝对值三角不等式证明即可．

解答： （本小题满分10分）
证明：|f（x）-f（m）|=|（x²-m²）-（x-m）|=|（x-m）（x+m-1）|，…（3分）
∵|x-m|＜1，
∴|（x-m）（x+m-1）|＜|x+m-1|≤|（x-m）+（2m-1）|≤|x-m|+|2m-1|＜1+|2m-1|＜1+|2m|+|1|
=2（|m|+1），
即|f（x）-f（m）|＜2（|m|+1）．…（10分）

点评：本题考查不等式的证明，放缩法以及绝对值三角不等式的应用，考查逻辑推理能力．