Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，0]时f(x)=(

1

2

)x，则f（log₂8）等于（　　）

• A．3
• B．

  1

  8

• C．-2
• D．2

Answer 1

分析：由函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），变形得到函数的周期，然后利用函数的周期性把f（log₂8）转化为求给出的函数解析式范围内的值，从而得到答案．

解答：解：由f（x+1）=-f（x），令x=x+1
f（x+2）=-f（x+1）
f（x+2）=-（-f（x））=f（x），
则函数f（x）为周期为2的周期函数，
∴f（log₂8）=f（3log₂2）=f（3）=f（3-4）=f（-1）．
又当x∈[-1，0]时f(x)=(

1

2

)x，
∴f（log₂8）=f（-1）=(

1

2

)-1=2．
故选D．

点评：本题考查了函数的周期性，考查了函数奇偶性的性质，考查了学生灵活分析问题和解决问题的能力，是中档题．