Question

要设计一个金属容积为V（常数）的密闭容器，下部是圆柱形，上部为半球形（如图）．当圆柱底面半径r与高h各为何值时，制造这个容器用料最省（表面积最小）？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：由题意V=πr2h+

2

3

πr3，S_表=3πr²+2πrh，化简可得S_表=

5

3

πr2+

2V

r

，利用基本不等式，即可求得结论．

解答： 解：V=πr2h+

2

3

πr3①，S_表=3πr²+2πrh②
由①可得h=

V- 2 3 πr3

πr2

，
代入②S_表=3πr²+2πr•

V- 2 3 πr3

πr2

=

5

3

πr2+

2V

r

．…（6分）
=

5

3

πr2+

V

r

+

V

r

≥3

3	( 5 3 πr2)( V r )2

=3

3	5πV2 3

，
当且仅当

5

3

πr2=

V

r

即r=

3	3V 5π

时S_表最小．…（10分）
此时h=

3	3V 5π

即r=h=

3	3V 5π

时用料最省．…（12分）

点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，求得表面积是关键．