Question

设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k₁，k₂．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若k₁k₂=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．

Answer 1

分析：（1）先设抛物线方程，根据抛物线过点（2，4），把其代入即可求出抛物线的方程；
（2）先根据k₁k₂=1，得到关于A，B的坐标之间的关系，再根据两点式写出直线方程，结合所求的结论，即可证直线AB恒过定点，并求出其坐标．

解答：解：（1）依题意，可设所求抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
因抛物线过点（2，4），故4²=4p，p=4，抛物线方程为y²=8x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则k1=

y1-4

x1-2

=

y1-4

y12 8 -2

=

8

y1+4

k2=

y2-4

x2-2

=

y1-4

y22 8 -2

=

8

y2+4

．
∵k₁k₂=1，∴

8

y1+4

•

8

y2+4

=1，
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）-48=0．
直线AB的方程为y-y1=

8

y1+y2

(x-

y12

8

)，即（y₁+y₂）y-y₁y₂=8x．
将y₁y₂=-4（y₁+y₂）+48代入上式得：
（y₁+y₂）（y+4）=8（x+6），
即（8x+48）-（y₁+y₂）（y+4）=0．
令k=-（y₁+y₂），则方程化为（8x+48）+k（y+4）=0．
由直线系方程得

8x+48=0 y+4=0

，解得

x=-6 y=-4

．
∴该直线恒过定点（-6，-4）．

点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答此题的关键在于充分利用斜率间的关系，同时注意解题过程中坐标运算的简化．此题是中档题．