Question

设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k_PA，k_PB．
（1）求抛物线的方程；
（2）若k_PA+k_PB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；
（3）若k_PA•k_PB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．

Answer 1

分析：（1）先设抛物线方程，根据抛物线过点（2，4），把其代入即可求出抛物线的方程；
（2）先设出A，B的坐标，根据两点求出k_PA，k_PB，以及直线AB的斜率的表达式，根据k_PA+k_PB=0，即可证明结论；
（3）先根据k_PA•k_PB=1得到关于A，B的坐标之间的关系，再根据两点些出直线方程，结合所求的结论，即可证直线AB恒过定点，并求出其坐标．

解答：解：（1）依题意，可设所求抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
因抛物线过点（2，4），故4²=4p，p=4，抛物线方程为y²=8x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则kPA=

y1-4

x1-2

=

y1-4

y 2 1 8 -2

=

8

y1+4

，
同理kPB=

8

y2+4

，kAB=

8

y1+y2

．
∵k_PA+k_PB=0，
∴

8

y1+4

+

8

y2+4

=0，∴

8

y1+4

=

8

-y2-4

，y₁+4=-y₂-4，y₁+y₂=-8
∴k_AB=-1．
即直线AB的斜率恒为定值，且值为-1．
（3）∵k_PAk_PB=1，
∴

8

y1+4

•

8

y2+4

=1，
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）-48=0．
直线AB的方程为y-y1=

8

y1+y2

(x-

y 2 1

8

)，即（y₁+y₂）y-y₁y₂=8x．
将y₁y₂=-4（y₁+y₂）+48代入上式得
（y₁+y₂）（y+4）=8（x+6），该直线恒过定点（-6，-4），命题得证．

点评：本题主要考查抛物线和直线的综合问题．在解关于抛物线的题目时，因为抛物线的方程比较特殊，一般在设抛物线上的点时，常用一个字母来表示．