精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数φ(x)=5x2+5x+1(x∈R),函数y=f(x)的图象与φ(x)的图象关于点(0,数学公式)中心对称.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)如果g1(x)=f(x),gn(x)=f[gn-1(x)](n∈N,n≥2),试求出使g2(x)<0成立的x取值范围;
(3)是否存在区间E,使E∩{x|f(x)<0}=∅对于区间内的任意实数x,只要n∈N且n≥2时,都有gn(x)<0恒成立?

(本小题满分13分)
解:(1)∵函数y=f(x)的图象与φ(x)的图象关于点(0,)中心对称
∴f(x)=1-φ(-x)=1-(5x2-5x+1)=5x-5x2
(2)由g2(x)=5g1(x)-5g12(x)<0解得g1(x)<0或g1(x)>1
即5x-5x2<0或5x-5x2>1
解得x<0或x>1或<x<
(3)由{x|f(x)<0}={x|x<0或x>1},
又()∩{x|x<0或x>1}=∅,,
当x∈()时,g2(x)<0,g3(x)=5g2(x)-5g22(x)<0,
∴对于n=2,3时,E⊆(),命题成立.
以下用数学归纳法证明E⊆(),对n∈N,且n≥2时,都有gn(x)<0成立
假设n=k(k≥2,k∈N)时命题成立,即gk(x)<0,
那么gk+1(x)=f[gk(x)]=5gk(x)-5gk2(x)<0即n=k+1时,命题也成立.
∴存在满足条件的区间E⊆().
分析:(1)根据函数y=f(x)的图象与φ(x)的图象关于点(0,)中心对称可得f(x)=1-φ(-x),可求出所求;
(2)由g2(x)=5g1(x)-5g12(x)<0求出g1(x)的范围,然后可求出x的取值范围;
(3)根据()∩{x|f(x)<0}=∅,验证n=2,3是否成立,然后利用数学归纳法进行证明即可.
点评:本题主要考查了函数的对称性,以及不等式的解法和数学归纳法的应用,同时考查了运算求解的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x2-2,g(x)=xlnx,,
(1)若对一切x∈(0,+∞),2g(x)≥ax-5-f(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)试判断方程ln(1+x2)-
12
f(x)-k=0
有几个实根.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;
(2)若对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
-5      x<-3
2x+1  -3≤x≤2
5         x>2
(1)求函数值f(2),f[f(1)];(2)画出函数图象,并写出f(x)的值域.(不必写过程)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
5+2x
16-8x
,设正项数列{an}满足a1=l,an+1=f(an).
(I)写出a2,a3的值;
(Ⅱ)试比较an
5
4
的大小,并说明理由;
(Ⅲ)设数列{bn}满足bn=
5
4
-an,记Sn=
n
i=1
bi
.证明:当n≥2时,Sn
1
4
(2n-1).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=5-2|x|,g(x)=x2-2x,构造函数F(x),定义如下:当f(x)≥g(x)时,F(x)=g(x);当f(x)<g(x)时,F(x)=f(x),那么F(x) 的最大值为
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案