(本小题满分13分)
解:(1)∵函数y=f(x)的图象与φ(x)的图象关于点(0,
)中心对称
∴f(x)=1-φ(-x)=1-(5x
2-5x+1)=5x-5x
2
(2)由g
2(x)=5g
1(x)-5g
12(x)<0解得g
1(x)<0或g
1(x)>1
即5x-5x
2<0或5x-5x
2>1
解得x<0或x>1或
<x<
(3)由{x|f(x)<0}={x|x<0或x>1},
又(
,
)∩{x|x<0或x>1}=∅,,
当x∈(
,
)时,g
2(x)<0,g
3(x)=5g
2(x)-5g
22(x)<0,
∴对于n=2,3时,E⊆(
,
),命题成立.
以下用数学归纳法证明E⊆(
,
),对n∈N,且n≥2时,都有g
n(x)<0成立
假设n=k(k≥2,k∈N)时命题成立,即g
k(x)<0,
那么g
k+1(x)=f[g
k(x)]=5g
k(x)-5g
k2(x)<0即n=k+1时,命题也成立.
∴存在满足条件的区间E⊆(
,
).
分析:(1)根据函数y=f(x)的图象与φ(x)的图象关于点(0,
)中心对称可得f(x)=1-φ(-x),可求出所求;
(2)由g
2(x)=5g
1(x)-5g
12(x)<0求出g
1(x)的范围,然后可求出x的取值范围;
(3)根据(
,
)∩{x|f(x)<0}=∅,验证n=2,3是否成立,然后利用数学归纳法进行证明即可.
点评:本题主要考查了函数的对称性,以及不等式的解法和数学归纳法的应用,同时考查了运算求解的能力,属于中档题.