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已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;
(2)若对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.
分析:(1)先将函数进行配方得到对称轴,判定出函数f(x)在[1,a]上的单调性,然后根据定义域和值域均为[1,a]建立方程组,解之即可;
(2)将a与2进行比较,将条件“对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4”转化成对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有f(x)max-f(x)min≤4恒成立即可.
解答:解:(1)∵f(x)=(x-a)2+5-a2(a>1),
∴f(x)在[1,a]上是减函数,又定义域和值域均为[1,a],
f(1)=a
f(a)=1

1-2a+5=a
a2-2a2+5=1
,解得a=2.
(2)若a≥2,又x=a∈[1,a+1],且,(a+1)-a≤a-1
∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2
∵对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,
∴f(x)max-f(x)min≤4,即(6-2a)-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3,
又a≥2,∴2≤a≤3.
若1<a<2,fmax(x)=f(a+1)=6-a2,f(x)min=f(a)=5-a2
f(x)max-f(x)min≤4显然成立,综上1<a≤3.
点评:本题主要考查了函数的最值及其几何意义,同时考查了转化与划归的数学思想,属于中档题之列.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
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x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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