Question

已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.

(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．

 

Answer 1

（1）a≤0

（2）f(x)的单调递增区间为，[3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为.

【解析】【解析】
(1)对f(x)求导，

得f′(x)＝3x2－2ax－3.

由f′(x)≥0，得a≤.

记t(x)＝，当x≥1时，t(x)是增函数，

∴t(x)min＝ (1－1)＝0.∴a≤0.

(2)由题意，得f′(3)＝0，

即27－6a－3＝0，

∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，

f′(x)＝3x2－8x－3.

令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝3.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

x		－		3	(3，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

 

∴f(x)的单调递增区间为，[3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为.